（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　　 ＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，・・・

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，Ｓ4＝１５，・・・

（問）ｍ次元空間をｎ枚の超平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＋・・・＋（ｎ，ｍ）

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（問）球面をｎ個の大円で分割する．その際，どの３個も同一点で交わらないとすると，球の表面はｎ^2−ｎ＋２個の領域に分割される．

（証）２個の大円は２点で交わるから，ｎ個の大円の交点数は

　　２（ｎ，２）＝ｎ^2−ｎ

また，各交点の次数は４であるから，握手定理により，辺数は

　　２（ｎ^2−ｎ）

よって，オイラーの公式から，領域の個数はｎ^2−ｎ＋２となる．

　　Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，Ｓ4＝１４（四角形は６個），Ｓ5＝２２（三角形１０個，四角形１０個，五角形２個），・・・

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