球面上の有限個の点の集合で，よい性質をもつものは？　というきわめて漠然，曖昧模糊とした問題を考えると，これはある意味で，球によって最もよく近似できるｎ頂点あるいはｎ面の多面体を求める問題であり，球面に内接する正多面体の頂点のつくる集合は，いろいろな意味でその例といえるでしょう．

　さらに，凸な一様多面体（面が正則，頂点が等価）であるプラトン立体，アルキメデス立体，半正則プリズム，反プリズムなどがよい性質をもつ多面体の例となり得るでしょうし，一様な多面体の他に，すべての面が正多角形である凸多面体（ザルガラー多面体）が正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することもわかっています．角錐，角柱，重角錐，重角錐台，ねじれ角錐台，ねじれ重角錐台，・・・

　ところで，正多面体の頂点は外接球上に分布していますが，どの２点の最短距離もできるだけ大きくなるような点の分布をなしているとは限りません．たとえば，６個あるいは１２個の点の分布はそれぞれ正八面体と正２０面体になりますが，８個の点については立方体にはならないからです．

　さらに，正則な配置問題だけでなく，任意の不規則な配置も考慮に入れられるのですが，たとえば，７個の点の球面最小距離を最大にするミニマックス問題，マックスミニ問題となるとどうしてよいのやらわかりません．

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【１】球面上の点配置のミニマックス問題

　コラム「幾何学的不等式への招待（その４）」で述べたことを使うと，ミニマックス問題の解は，ｎ＝４，６，１２の場合には，それぞれ正４面体，正８面体，正２０面体の頂点に一致するような配置が導かれます．

　ｎ＝８の解は，ちょっと考えると立方体になりそうですが，そうではなく，単位球に内接し８個の頂点をもつ反プリズム（２個の正方形と８個の正三角形からなる）になります．

　ｎ＝２４ではアルキメデスの多面体であるねじれ立方体（３，３，３，３，４）の頂点，すなわち，ねじれ立方体の２４個の頂点は外接球面上にＳ4変換群となるように分布していますが，これらはどの２点の最短距離もできるだけ大きくなるような点の分布をなしているというわけです．

　ｎ＝２０は未解決のまま残っています．ｎ≦１２とｎ＝２４のときだけ正確な答えが知られているのですが，ｎ＝３，４，６，１２はトート，ｎ＝５，７，８，９はシュッテとファン・デル・ヴェルデン，ｎ＝１０，１１はDanzer, Hars, Boeroeczky，ｎ＝２４（ねじれ立方体）はシュッテとファン・デル・ヴェルデンが予想し，１９５９年にロビンソンによって解かれました．ｎ＝５は正八面体の６頂点から１点を除いた５点，ｎ＝１１は正二十面体の１２頂点から１点を除いた１１点．）

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【２】球面上の点配置のマックスミニ問題

　一方，マックスミニ問題の解は，ｎ＝６のとき，正則な二重ピラミッドの頂点，ｎ＝１２のとき，反プリズム的二重ピラミッドの頂点であることが導かれています．二重ピラミッドとは，プリズムあるいは反プリズムの底面および上面にそれぞれひとつずつピラミッドをおくときにできる立体です．

　ｎ≦７とｎ＝１０，１２，１４のときだけ正確な配置が知られています．

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