平行四辺形の頂点と２等分点を使ったダイヤグラムでは，平行四辺形の重なりにおいて，４：５：３の比があらわれた．では，３等分点を使ったダイヤグラムではどうだろうか？

　求めるのは，ＥＯ：ＯＮ：ＮＢである．４：５：３になっていることは間違いなさそうであるが，証明してみよう．　　　（中川宏）

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［証］

　三角形ＣＥＵにおいてＯは重心であるから，a:b=2:1

また，対角線ＢＥはＣＵによって２等分されているので，a+b=c+d

平行四辺形の対角線は相互に２等分するので，c=d

　そこでa+b+6とおくと，a=4,b=2,c=3,d=3

よって，ＥＯ：ＯＮ：ＮＢ＝４：５：３である．

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［補］一般に与えられた平行四辺形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの平行四辺形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝５／９

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／２

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝５／９

であるから，小さい平行四辺形の面積はもとの平行四辺形の面積の５／９に等しい．また，小さい平行四辺形が重なった部分は点対称な８角形で，その面積は小さい平行四辺形の面積の５／６に等しい．

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