【１】三角形のｎ等分

［１］さらに調べてみたところ，一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．

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【２】平行四辺形のｎ等分

　平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ，ＡＢの中点と結んで，中央に小さい平行四辺形を作る．この小さい平行四辺形の面積は，もとの平行四辺形の面積の１／５に等しい．

　一般に与えられた平行四辺形の各辺を同じ倍率ｋ（０＜ｋ＜１）で縮めた位置に点をとって，対頂点と結んで作った平行四辺形の面積は，もとの平行四辺形の面積の

　　Ｍ＝（１−ｋ）^2／（１＋ｋ^2）

倍になる．

　　ｋ＝０　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝２／５

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／５

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／１３

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝０

　次に，平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＣＤ，ＤＡ，ＡＢ，ＢＣの中点と結んでも中央に小さい平行四辺形が得られる．この小さい平行四辺形が重なった部分は点対称な８角形で，その面積はもとの平行四辺形の面積の１／６に等しい．

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