三角形の各辺の３等分点を結んでできる３分の１の大きさの三角形が，元の三角形と相似図形となる条件を，７等分の場合と同様にもとめてみた（中川宏）．

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　元の三角形ＯＡＢの座標を（０，０），（３，０），（３ａ,３ｈ）とすると，三角形ＣＤＥの座標は（ａ，ｈ），（２，０），（１＋２ａ，２ｈ）と表記できる．

OA^2=9

OB^2=9a^2+9h^2

AB^2=(3-3a)^2+9h^2

CD^2=(2-a)^2+h^2

DE^2=(1-2a)^2+4h^2

EC^2=(1+a)^2+h^2

　それぞれの三角形の３辺が対応して，相似比が３：１になる条件の組み合わせは，

�@ １/３ＯＡ^2＝ＣＤ^2, １/３ＯＢ^2＝ＤＥ^2, １/３ＡＢ^2＝ＥＣ^2,

�A １/３ＯＡ^2＝ＣＤ^2, １/３ＯＢ^2＝ＥＣ^2, １/３ＡＢ^2＝ＤＥ^2,

�B １/３ＯＡ^2＝ＤＥ^2, １/３ＯＢ^2＝ＣＤ^2, １/３ＡＢ^2＝ＥＣ^2,

�C １/３ＯＡ^2＝ＤＥ^2, １/３ＯＢ^2＝ＥＣ^2, １/３ＡＢ^2＝ＣＤ^2,

�D １/３ＯＡ^2＝ＥＣ^2, １/３ＯＢ^2＝ＣＤ^2, １/３ＡＢ^2＝ＤＥ^2,

�E １/３ＯＡ^2＝ＥＣ^2, １/３ＯＢ^2＝ＤＥ^2, １/３ＡＢ^2＝ＣＤ^2,

の６通りである．

　このうち，�A，�B，�Eの場合は，

　　ａ＝１/２，ｈ＝√３/２

が唯一の解であった．そのほかの場合は，３つの関係式がすべて同じになり，

�@　a^2-4a+h^2+1=0

�C　2a^2-2a+2h^2-1=0

�D　a^2+2a+h^2-2=0

であった．この３つの関係式はいずれもａ＝１/２，ｈ＝√３/２

を解としてもつ．そこで，三角形の３等分の相似条件は下のように図示することができる．

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