ベキ和の公式
Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s
Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２
Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４
Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０
Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２
Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２
Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４
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ですから，左辺はｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６＝ｎ（ｎ＋１／２）（ｎ＋１）／３
となれば次は
１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝ｎ（ｎ＋１／３）（ｎ＋２／３）（ｎ＋１）／４
が予想されるところですが，
１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2
また，３乗の和は和の２乗である
１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2
ことに驚かされ，お気に入りの恒等式になったという経験をお持ちの読者も少なくないでしょう．
今回のコラムでは，ｓが奇数の場合に
Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s
が
Σｋ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
で割り切れることを証明してみます．
１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s＝０ （ｍｏｄ ｎ（ｎ＋１）／２）
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【１】ｎ＝２ｍ＋１の場合
１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s＝０ （ｍｏｄ ｎ（ｎ＋１）／２）
は
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ｍ（２ｍ＋１））
になるが，ｍと２ｍ＋１は互いに素であるから，
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ２ｍ＋１）
かつ
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ｍ）
を証明することと同値である．
まず
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ２ｍ＋１）
から始めるが，ｍｏｄ ２ｍ＋１より，２ｍ＝−１，２ｍ−１＝−２，・・・
したがって，
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s
＝１^s＋２^s＋・・・＋ｍ^s＋（−１）^s＋（−２）^s＋・・・＋（−ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ２ｍ＋１）
＝０ （∵ｓは奇数）
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【２】ｎ＝２ｍの場合
次に
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s＝０ （ｍｏｄ ｍ）
であるが，ｍｏｄ ｍより，ｍ＝０，ｍ＋１＝１，・・・
１^s＋２^s＋・・・＋（２ｍ）^s
＝１^s＋２^s＋・・・＋ｍ^s＋ｍ^s＋（ｍ＋１）^s＋・・・＋（２ｍ）^s
＝１^s＋２^s＋・・・＋０^s＋０^s＋１^s＋・・・＋０^s
＝２（１^s＋２^s＋・・・＋（ｍ−１）^s） （ｍｏｄ ｍ）
ここで，ｍが奇数ならば
２（１^s＋２^s＋・・・＋（ｍ−１）^s） （ｍｏｄ ｍ）
＝２（１^s＋・・・＋（（ｍ−１）／２）^s＋（−（ｍ−１）／２）^s＋・・・＋（−１）^s）＝０となるし，ｍが偶数ならば（ｍ＝２ｋ）
２（１^s＋２^s＋・・・＋（ｍ−１）^s）＝２ｋ^s＝０ （ｍｏｄ ２ｋ）
となって証明されたことになるのである．
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【３】ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式
ｓが偶数の場合は読者の演習問題とします．ベルヌーイはこの式の列
Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２
Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４
Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０
Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２
Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２
Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４
を見て，次のようなパターンを発見しました．
それを一般式の形で書くと，S(s,n)=Σｋ^sは
S(s,n)=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}
=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)
と，ベルヌーイ数Ｂnを含む式で表すことができます．
具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐ(x)−１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）
＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・
＝ΣＢnｘ^n／ｎ！
で定義される有理数で，係数Ｂnはベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるように，lim(x→0)ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）=1が成立します．
定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数
（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3＋・・・
の反転級数と考えることができます．
ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・
ですから
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）
=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)
=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)
=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･
=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･
これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ(x)＋１）／（ｅｘｐ(x)−１）
は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．
ベルヌーイ数については，再帰公式
（Ｂ＋１）^n-B＾n=0
が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています．
また，ベルヌーイ多項式の最初のいくつかは
Ｂ0(x)＝１
Ｂ1(x)＝ｘ−１／２
Ｂ2(x)＝ｘ^2−ｘ＋１／６
Ｂ3(x)＝ｘ^3−３ｘ^2／２＋ｘ／２
Ｂ4(x)＝ｘ^4−２ｘ^3＋ｘ^2−１／３０
Ｂ5(x)＝ｘ^5−５ｘ^4／２＋５ｘ^3／３−ｘ／６
Ｂ6(x)＝ｘ^6−３ｘ^5＋５ｘ^4／２＋ｘ^2／２＋１／４２
Ｂ7(x)＝ｘ^7−７ｘ^6／２＋７ｘ^5／２＋７ｘ^3／６＋ｘ／６
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