多面体の分割に関するデーンの定理（１９００年）とは
「正四面体と直方体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない．」
というものですが，秋山仁先生はデーンの定理を拡張して
「３次元正多面体の元素数は４である．」
「４次元正多面体の元素数は４である．」
「ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３である．」
を証明しています（２００９−２０１０年）．
今回のコラムでは「長方形の方形分割」に関するもうひとつのデーンの定理を紹介します．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】デーンの定理（１９０３年）
「縦がａ，横がｂの長方形Ｋを縦横比が有理数であるような有限個の長方形に分割することができるならばａ，ｂの比は有理数であることが必要十分条件である．」
分割された小長方形は，縦横比が有理数という条件が付いているだけで，それぞれの長さは無理数でもかなわないのですが，分割の際，小長方形の配置は多様にありうるわけですから，この定理はまったく自明な定理とはいえません．
［参］砂田利一「分割の幾何学」日本評論社
によると，１９４０年になってからブルックス，スミス，ストーン，テュッテはデーンの定理を電気回路とみなしてキルヒホッフの法則とオームの法則に帰着させて鮮やかに証明したとあり，この問題について詳しく述べてあるので参照してほしいと思います．
特に，Ｋを有限個の正方形に分割できればａ，ｂの比は有理数であることが必要十分条件となります．デーンの定理により，縦横比が有理数であるような長方形は正方形分割されるのですが，その方法は１通りではありません．
縦横比がａ／ｂであるとき，縦をａ等分，横をｂ等分してａｂ個の正方形で分割する方法では正方形領域は最小個数にはならないし，あまりに芸がありません．それに対して，ユークリッドの互除法に基づく連分数の理論は，もっと経済的な分割の方法です．
ユークリッドの互除法に基づくアルゴリズムは，縦がａ，横がｂの長方形の分割では左から正方形を最大個数詰め，次に残りの長方形において下から正方形を最大個数詰め，・・・，最後の残った長方形において左から正方形を最大個数詰めると，正方形分割が得られることを示しています．
ａ＜ｂとして，このことを数式で表すと，
ｂ＝ｑ0ａ＋ｒ1
ａ＝ｑ1ｒ1＋ｒ2
ｒ1＝ｑ2ｒ2＋ｒ3
ｒ2＝ｑ3ｒ3＋ｒ4
・・・・・・・・
ｒl-1＝ｑlｒl
上のようにしてｒl+1回目に得られるｒlはａ，ｂの最大公約数であり，長方形はｑ0＋ｑ1＋・・・＋ｑl個の正方形で埋めつくされることになります．
たとえば，縦が５横が７の長方形において，左から１辺の長さが５の正方形を１つ詰め，下から１辺の長さ２の正方形を２つ詰め，最後に残った長方形において左から対して１辺の長さ２の正方形を２つ詰めると，正方形分割が得られます．これを連分数表示すると
７／５＝［１：２，２］→正方形領域数５
同様に
１１／７＝［１：１，１，３］→正方形領域数６
となりますが，縦横比が無理数の場合はこの連分数展開は無限に続きますから，有限分割することができないことがわかります．
√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］→正方形領域数∞
√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］
√５＝［２；４，４，４，・・・］
√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
縦横比が黄金比，すなわち１：（√５＋１）／２＝１：１．６１８の長方形を黄金長方形とよびます．黄金長方形から正方形を取り去ると再び小さい黄金長方形が残ります．同様にしてこの手続きは無限に続行できます．したがって，黄金比はユークリッドの互除法によって「１」だけを使って連分数に展開できる無理数であり，すなわち，
φ＝（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］
その意味では最もゆっくり収束する無理数であり，最もシンプルなフラクタル生成装置ともいえます．このことから，たとえば，
５５／３４＝［１：１，１，１，１，１，１，２］→正方形領域数９
は黄金比のよい近似になっていることが理解されます．
ところが，縦が６１，横が６９の長方形の正方形分割をユークリッドの互除法に基づいて行うと
６９／６１＝［１：７，１，１，３］→正方形領域数１３
となるのですが，これは最小正方形分割ではなく，１辺の長さが
２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８
の９個の正方形を使って分割できることが知られています．
２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８
は正方形による有限分割をその左辺がより左にあるもの，左辺が同じ位置のものについては上辺がより上にあるものから順に示してあります．
このように長方形の最小正方形分割に対するユークリッドの互除法のアルゴリズムは破綻するのですが，それでは
２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８
はどのようにして得られたものなのでしょうか？ また，最小正方形分割のアルゴリズムは存在するのでしょうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】デーンの定理の応用
デーンの応用が「長方形を最も少ない数の正方形で分割する」という問題ですが，
［参］砂田利一「分割の幾何学」日本評論社
では，有理数値の重みをもつポアソン方程式Δｆ＝ｇの解ｆについて考察していて，グラフ上のラプラシアンに関するスペクトル幾何学の離散近似問題に焼き直してあります．
ここではもうひとつのデーンの定理の応用を紹介します．それはひとつの長方形がいくつかの小長方形に分割されているとき，小長方形の少なくとも１辺の長さが整数ならば，もとの大長方形の少なくとも１辺の長さは整数になるというものです．
すべての小長方形の２辺の長さが整数ならば，この問題は自明ですが，少なくとも１辺の長さが整数というのですから，まったく自明とはいえません．
背理法による証明を試みますが，大長方形の２つの垂直辺が水平整数辺をもつ小長方形の鎖によって連結されていないとすると，水平整数辺をもつ小長方形の鎖によって大長方形の２つの水平辺に橋が架けられているか，垂直整数辺をもつ小長方形の鎖によって大長方形の２つの水平辺に橋が架けられているかどちらかということになり，大長方形の少なくとも１辺の長さは整数になるのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝