４次元正多胞体（頂点数ｖ）が半径１の球に内接しているときも，すべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることが確かめられた．この定理は４次元正多胞体に限らず，ｎ（≧５）次元正多胞体について常に成立する．

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【１】正ｎ＋１胞体

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．頂点数はｎ＋１個あり，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがる．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

である．

　　ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１）＝−１／√（１＋ｎ）

より，外接球の半径は（ｎ／（１＋ｎ））^1/2

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｖ＝ｎ＋１，Ｋ＝（１＋１／ｎ）

　　Ｋ＝１／ｒ^2

　　ＳＳ1＝Ｋ・ΣＬj^2

　　ＳＳ2＝Ｋ・Ｖ／２×ΣＮjＬj^2

を計算すると

　　ＳＳ1＝２（１＋１／ｎ）

　　ＳＳ2＝（ｎ＋１）^2＝Ｖ^2

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【２】正２ｎ胞体

　（±１，±１，±１，±１，・・・）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径√ｎの正２ｎ胞体を考える．頂点数は２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでる．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

　　Ｖ＝２^n，Ｋ＝１／ｎ

　　ＳＳ1＝２（ｎ＋１）

　　ＳＳ2＝（２^n）^2＝Ｖ^2

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【３】正２^n胞体

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，±１）

を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正２^n胞体を考える．頂点数は２ｎ個あり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝２ｎ，Ｋ＝１

　　ＳＳ1＝６

　　ＳＳ2＝（２ｎ）^2＝Ｖ^2

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【４】雑感

　１次元の単位球は直径に退化し，その２頂点は（１，０），（−１，０）より直径の長さ２であるから，平方和ＳＳ＝４．これですべての次元において，単位球に内接する正多胞体のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることが確かめられたことになる．

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