今回のコラムでは，正多面体が半径１の球に内接しているとき，

（Ｑ）辺と対角線のすべての相異なる長さの集合｛Ｌ1，Ｌ2，・・・Ｌn｝に対して，その集合の各要素の平方和ＳＳ1＝ΣＬj^2

（Ｑ）すべての辺と対角線の長さの平方和ＳＳ2

を求めることにする．

　ある頂点におけるＬjの本数をＮj，正多面体の頂点数をＶとすると，

　　ＳＳ2＝Ｖ／２×ΣＮjＬj^2

で与えられる．

　また，外接球の半径をｒとした場合，単位球に換算するための補正項をＫとおくと，

　　Ｋ＝１／ｒ^2

　　ＳＳ1＝Ｋ・ΣＬj^2

　　ＳＳ2＝Ｋ・Ｖ／２×ΣＮjＬj^2

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【１】正四面体

　立方体の頂点をひとつおきに結んでできる（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）を頂点とする１辺の長さ２√２，外接球の半径√３の正四面体を考える．

　　Ｌ1＝２√２，Ｎ1＝３

　　Ｖ＝４，Ｋ＝１／３

　　ＳＳ1＝８／３

　　ＳＳ2＝１６＝Ｖ^2

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【２】立方体

　（±１，±１，±１）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径√３の立方体を考える．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝３

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝３

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝１

　　Ｖ＝８，Ｋ＝１／３

　　ＳＳ1＝８

　　ＳＳ2＝６４＝Ｖ^2

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【３】正八面体

　（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正八面体を考える．

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝４

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝６，Ｋ＝１

　　ＳＳ1＝６

　　ＳＳ2＝３６＝Ｖ^2

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【４】正十二面体

　τ＝（１＋√５）／２とおくと，正十二面体は立方体の頂点（±１，±１，±１）と（±τ，±１／τ，０）の巡回置換で表される点，合計２０点を結んでできる．１辺の長さ２／τ，外接球の半径√３．

　　Ｌ1＝２／τ，Ｎ1＝３

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝６

　　Ｌ3＝２√２，Ｎ3＝６

　　Ｌ4＝２τ，Ｎ4＝３

　　Ｌ5＝２√３，Ｎ5＝１

　　Ｖ＝２０，Ｋ＝１／３

　　ＳＳ1＝１２

　　ＳＳ2＝４００＝Ｖ^2

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【５】正二十面体

　１２点（±τ，±１，０），（±１，０，±τ，），（０，±τ，±１）を結んでできる．１辺の長さ２，外接球の半径√（τ＋２）．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝５

　　Ｌ2＝２τ，Ｎ2＝５

　　Ｌ3＝２√（τ＋２），Ｎ3＝１

　　Ｖ＝１２，Ｋ＝１／（τ＋２）

　　ＳＳ1＝８

　　ＳＳ2＝１４４＝Ｖ^2

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【６】結果

　正多面体の頂点数をＶとすると，正多面体のすべての辺と対角線の長さの平方和はＶ^2となった．無理数でなく整数！　この美とエレガンス！

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