２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

　奇数→偶数（３次元→４次元，５次元→６次元）については，２項の和が次の値になるというパスカルの三角形に似た漸化式は正しいようである．これは単体の場合の漸化式

　　ｆk^(n)＝ｆk^(n-1)＋ｆk-1^(n-1)

と同一であって，偶数次元のとき切断面がひとつの頂点を通るという特殊性が強くきいているせいである．

　偶数→奇数への漸化式は（もしあるとしても）まったく別の形になるはずである．たとえば，単体柱（両端が１次元低い単体で，それを結ぶ柱状体）の漸化式

　　ｆk^(n)＝２ｆk^(n-1)＋ｆk-1^(n-1)

は成り立たす，単体と単体柱の漸化式の中間値をとるようである．

　（その２１）では主として５次元の場合を扱ったが，６次元の場合はひとつの頂点を通って他を３＋３に分ける例外的な形なので，別途の考察が必要になる．しかし，調べれば調べるほど奇数次元と偶数次元の差が大きく現れ，とても単純な漸化式は期待できそうもない・・・と思っていたのであるが，驚いたことに，一松信先生は一般の次元の場合の面数ｆjを計算された．

　すなわち，二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　ただし，ｊ＝０のときかこれに＋１，すなわち，ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　ここではその略証を紹介するが，一松先生には高次元図形が直観的にみえているのだろうか．

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【１】証明

　基本単体の半切体の胞数を数えるだけならば，座標にこだわらず，ｎ次元単体（図形としてはすべての頂点が直接結ばれている完全グラフ）を切半したと考えてよい．ｊ次元胞（ｊ＝０，１，・・・，ｎ）の中心に相当する点をＰjとするが，切半体はこれを半分ずるに分ける．すなわち，ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のときは｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk，Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝というｋ個ずつに，ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のときは中央のＰkを通り｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝のｋ個ずつの組に分ける．したがって，２ｋ−１次元のときに，中央の頂点Ｐkに関する補正を加えればよい．

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　まず切断面上の図形を考える．この切断面はどこの頂点も通らないのでどの辺（一般に胞）と交わるかを見る．切断面上のｊ次元胞はもとの基本単体のｊ＋１次元胞の切断面である．もとの単体のｊ＋１次元胞は合計（ｎ＋１，ｊ＋２）＝（２ｋ，ｊ＋２）個ある．

　そのうち，Ｐk-1以下同士とＰk同士は切断面と交わらないので（ｋ，ｊ＋２）×２を引く必要がある．切断面上のｊ次元胞の数をｓj（ｊ＝０，１，・・・，２ｋ−２）とすると，

　　ｓj＝（２ｋ，ｊ＋２）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　　　（ｋ＜ｊ＋２なら後の項は０）

とくに

　　ｓ0＝ｋ^2　　　（これは左右ｋ個ずるの積として当然）

　　ｓ0＝ｋ^2（ｋ−１）

　もとの切半体そのものは切断面と交わらない部分，切断面で切られた部分，切断面上の部分からなる．切断面と交わるｊ次元胞の数は（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋１）×２，交わらない胞のうち片側に含まれる分（ｋ，ｊ＋１），切断面上ｓjであるから，

　　ｆｊ＝（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋１）×２＋（ｋ，ｊ＋１）＋ｓj

　　　　＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　　（ｋ＜ｊ＋１なら後の項は０）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

だが，

　　ｎ＝３のとき（６，９，５）

　　ｎ＝５のとき（１２，３０，３４，２１，７）

　　ｎ＝７のとき（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

となる．

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　このときは中央次元のＰkを切半面が通るので，，その分の別扱いが必要である．しかし，それを除けば切り口のｊ次元胞数ｓj，全体のｊ次元胞数ｆjは前と同じである．そこで表現の便宜上，切り口および全体のｊ次元胞数をｓj’，ｆｊ’と記し，ｓj，ｆｊは奇数次元のときに使う．

　　ｓ0’＝ｓ0＋１　　　（Ｐkを追加）

　　ｓj’＝ｓj＋ｓj−１　　　（ｊ≧１のとき，Ｐkからｊ−１次元胞を射影した分だけ，ｊ次元胞が加わる）

前と同じ理由で

　　ｓj＝（２ｋ，ｊ＋２）＋（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　　　 ＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　切断面と交わるｊ次元胞の数は（２ｋ＋１，ｊ＋１）−（ｋ＋１，ｊ＋１）×２，交わらない胞のうち片側に含まれる分（ｋ＋１，ｊ＋１），切断面上ｓj’であるから，

　　ｆj’＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　　（ｋ＜ｊなら後の項は０）

　　ｆ0’＝ｋ^2＋ｋ＋１　　　（補正不要）

　　ｆ1’＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　　ｎ＝２のとき（３，３）

　　ｎ＝４のとき（７，１５，１４，６）

　　ｎ＝６のとき（１３，４２，６４，５５，２８，８）

となる．

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【２】漸化式

　奇数→偶数次元の漸化式：ｆj’＝ｆj＋ｆj-1が成立する．偶数→奇数次元の漸化式を作るとなると，ｋがひとつ大きいときのｆj（２ｋ＋１次元のもの）は次のようになる．

　　ｆj＝（２ｋ＋３，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

これをｆj’で表すことは可能であるが，余り実用的ではないことがわかる．

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