ｎ次元立方体の基本単体の半切体の形だけを問題にする場合にはかえって座標を忘れて，単体を切った切り口がどうなるかを順次調べた方が早道である．今回のコラムでは，一松信先生に（その２０）の解説をお願いすることにした．

　まず最初に，５次元の場合の計算の補助として，各次元の胞の中心を通らずに切った場合の（一般の位置での）切断体の計算結果を紹介する．

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【１】ｎ＝２のとき

　三角形．たまたまた頂点を通れば２個の三角形になるが，これは例外であって，普通は三角形と四角形になる．三角形は単体，四角形は単体柱（両端が１次元低い単体で，それを結ぶ柱状体）の象徴である．

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【２】ｎ＝３のとき

　４面体の４個（ｎ＋１）の頂点を切断超平面の両側にどう配置すべきかが本質的．１＋３なら１個の側が単体（四面体）で，他の側が三角柱状（６頂点９辺５面）．２＋２だと切り口は四角形，切片された片は両方とも三角柱状（６頂点９辺５面，三角形２四角形３）

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【３】ｎ＝４のとき

　５個の頂点を切断超平面で分けると１＋４か２＋３（頂点を通る例外的な場合は当面必要ない）．１＋４は（ｎ＝３のときと同様に）一方が単体，他方が８頂点１６辺１２面（三角形８四角形６）６胞（４面体が２個，三角柱状が４個）になる．２＋３は２個の側が８頂点１６辺１２面（三角形８四角形６）６胞（４面体が２個，三角柱状が４個），３個の側が９頂点１８辺１５面（三角形６四角形１９）６胞（すべて三角柱状）となる．

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【４】ｎ＝５のとき

　これは５次元単体を切断超平面の両側にそれぞれ３頂点がくるように切った３＋３型の切断である．この場合，切り口は関連する１次元高い表面の胞の数から決まる．

［１］切り口の頂点はそこを通る３×３＝９本の辺の交点→９個

［２］切り口の辺はそこを通るもとの単体の面の数：それは（６，３）＝２０枚の面のうち両側にある（切られない）２面を除く１８面に対応→１８本

［３］切り口の面はそこを通るもとの単体の３次元の胞の数：このときは１５個の３次元の胞がすべて切られる．内訳は１＋３型が６個，２＋２型が９枚．［４］３次元の胞はもとの単体の房の切り口で，６房全部が切られる．６胞すべて２＋３の型．

［５］結局，切り口の４次元胞は９頂点１８辺１５面６胞の形になる．

　単体自体の切半体は次の通り

［１］頂点：元の頂点３＋切り口上に９＝合計１２点

［２］辺：もとの辺（切られない）３＋もとの単体の辺で途中で切られるもの９＋切り口上の辺１８＝合計３０本

［３］面：もとの面（切られない）１＋もとの単体の面で途中で切られるもの１８＋切り口上の面１５＝合計３４面

［４］胞：もとの胞はすべて切られ１５胞＋切り口上の胞６胞＝合計２１胞

［５］房：もとの房はすべて切られ６房＋切り口上の房１房＝合計７房

　１２＋３４＋７＝５３＝３２＋２１＋２でオイラーの公式が成立する．

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【５】５次元立方体の基本単体の半切体（まとめ）

　５次元では

　　（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

となったが，２房が１つの胞を共有し，１つの面に３個の胞が集まり，１つの辺に４個の面が集まるなどから，相互の関係が検算できる．

［１］７房（４次元の表面）はすべて６胞（３次元の表面）で，３個は８頂点１６辺１２面（三角形８，四角形６）６胞（４面体２，三角柱状１８），４個は９頂点１８辺１５面（三角形６，四角形９）６胞（すべて三角柱状）

各面に３胞，各辺に４胞

［２］２１胞のうち４面体３，三角柱状１８

［３］３４胞のうち三角形１６，四角形１８

として数は合う．

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