単純多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

が成り立つ．そして，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

をうまく並べるとパスカルの三角形に似た再帰公式が得られる．

　［参］ツィーグラー「凸多面体の数学」シュプリンガー・フェアラーク東京

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【１】ｎ次元立方体の基本単体の半切体

　２次元の（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元の（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元の（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

に引き続き

　５次元の（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元の（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１３，４２，６４，，５５，２８，８）

であると思われる．

　すなわち，二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　　ｆｊ＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ｆｊ＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　ただし，ｊ＝０のときかこれに＋１，すなわち，ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　奇数→偶数（３次元→４次元，５次元→６次元）については，２項の和が次の値になるというパスカルの三角形に似た漸化式は正しいようである．これは偶数次元のとき切断面がひとつの頂点を通るという特殊性が強くきいているせいである．

　偶数→奇数への漸化式は（もしあるとしても）まったく別の形になるはずである．

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【２】雑感

　これらは初歩的な組み合わせ的方法によるものである．まだ吟味が不十分であるし，整理不足で若干不満が残る（もっと整った形になるはずである）．また，ｎ＝２のとき例外になる（ｆn-1≠ｎ＋２）理由など，まだよくわからない点も多い．いずれにせよ上述したことは中間報告であって，要再検討．

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