頂点数ｎ＋１のｎ次多面体はｎ次元単体であるが，頂点数ｎ＋２のｎ次多面体を考えると［ｎ^2／４］個の組み合わせ型が存在するという．各面が単体（三角形面）からなる多面体は単体的多面体と呼ばれるが，このなかで［ｎ／２］個は単体的多面体で，残りはこの単体的多面体上に何重がのピラミッドをとったものである．

　それでは，胞数ｎ＋２のｎ次多面体ではどうなっているのだろうか？

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【１】ｎ次元多面体の構成要素数（オイラー関係式）

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体は，オイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．偶数次元のオイラー・ポアンカレの公式は定数項がない同次式である．

　同次式を避けるために，ｎ次元面ｆn＝１を加えると

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＋（−１）^nｆn＝１

　　Σ(0,n)（−１）^jｆj＝１

が成り立つ．

　この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．たとえば，ｎ＝２についてはｖ＝ｅ，ｎ＝３についてはｖ−ｅ＋ｆ＝２となるが，凸多面体に関する最も有名な公式であろう．

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【２】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

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