どんな三角形も４，９，１６，・・・，ｎ^2個に合同分割できることは当然だが，直角をはさむ辺の長さが１：ｎの直角三角形は，特別にｎ^2＋１個 にも合同分割できる．たとえば，ｎ＝２すなわち

(1)辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形（レプ５三角形）である．

(2)辺の長さが１：１：√２の直角三角形（４５°，４５°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）は同形４つだけでなく，２つの同形にも分割できる特殊な三角形（レプ２三角形）である．

　（新たに生じる三角形同士は合同である必要はないとして）ｎ個の自分自身と相似な三角形に分割する問題は，ｎ＝２，ｎ＝３の場合は直角三角形のみがそのように分割可能である．

(2)辺の長さが１：１：√２の直角三角形（４５°，４５°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）は同形４つだけでなく，２つの同形にも分割できる特殊な三角形（レプ２三角形）である．

(3)辺の長さが１：√３：２の直角三角形（３０°，６０°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）は同形４つだけでなく，３つの同形にも分割できる特殊な三角形（レプ３三角形）である．

　ところで，直角三角形(1)(2)(3)は平方根の螺旋「原点をＯ，点Ｐ1を（１，０）とします．点Ｐ1において長さ１の垂線Ｐ1Ｐ2⊥ＯＰ1を立て点Ｐ2（１，１）とします．すると，ＯＰ2＝√２となります．さらに点Ｐ2において長さ１の垂線Ｐ2Ｐ3⊥ＯＰ2を立てます．ＯＰ3＝√３となります．これを繰り返せば，１，√２，√３，・・・，√（ｎ−１），√ｎが得られ，点Ｐ1，Ｐ2，・・・は螺線のような図形を作る．」に出現する直角三角形である．平方根の螺旋に出現する直角三角形は自分自身と相似なｎ個の三角形に分割できるだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】平方根の螺線

　この問題は１：√（ｎ−１）：√ｎの直角三角形が自分自身と相似な整数個の三角形に分割できるためのｎを求めよという問題であるが，今回のコラムでは別の問題を取り上げたい．

［Ｑ］動径ベクトルＯＰkの長さは√ｋになりますが，その偏角がπ，２πを越すときのｋの値は？

［Ａ］平方根の螺線はピタゴラスの定理に基づく有名な図形です．

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（１／√（ｋ−１））

としてΣθを求めると，

　　π→　ｋ＝７

　　２π→ｋ＝１８

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．

　新たに生じる三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．ｎ＝２，ｎ＝３の場合は直角三角形のみがそのように分割可能である．ｎ＝５，すなわち，５つの相似三角形に分割できる三角形は何かという問題では直角三角形は自分自身と相似な５個の三角形に分割できるが，それ以外に内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形が可能である．５つの相似三角形に分割できる三角形はこの２種類のみであることが証明されている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】オイラー級数の螺線

　オイラー級数を

　　Ｈn＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＋１／ｎ^2

と定義します．オイラー級数は次第に減少する項からなりますが，ｎを無限大にしたとき，無限級数

　　Ｈ∞＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

に収束します．

　１７３４年，オイラーが当時懸案の大問題（バーゼル問題）を解いたのですが，次に，この漸近挙動を示す直角三角形連鎖を取り上げてみることにします．

　原点をＯ，点Ｐ1を（１，０）とします．点Ｐ1において長さ１／２の垂線Ｐ1Ｐ2⊥ＯＰ1を立て点Ｐ2（１，１／２）とします．すると，ＯＰ2＝√（１／１^2＋１／２^2）となります．さらに点Ｐ2において長さ１／３の垂線Ｐ2Ｐ3⊥ＯＰ2を立てます．ＯＰ3＝√（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2）となります．これを繰り返せば，１，√（１／１^2＋１／２^2），√（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2），・・・，√（Σ１／ｋ^2）が得られ，点Ｐ1，Ｐ2，・・・は螺線のような図形を作ります．

　動径ベクトルＯＰkの長さは√（Σ１／ｋ^2）になりますから，ｋ→∞のとき，　　｜ＯＰk｜→π／√６．また，

　　｜ＯＰ1｜＋｜Ｐ1Ｐ2｜＋・・・＋｜Ｐn-1Ｐn｜＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・→∞．

それでは動径ベクトルＯＰkの偏角がπ，２πを越すときのｋの値は？

［Ａ２］オイラー級数の収束速度は非常に遅く，その結果，点Ｐkはゆっくり外向きの螺線を描きながら半径π／√６の極限円に限りなく近づきます．

　単精度で計算したので誤差があると思われるのですが，

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（１／ｋ√Ｈk-1）

としてΣθを求めると，

　　π→　ｋ＝６９

　　２π→ｋ＝３８５８

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］ζ(1)は発散し，オイラーはζ(2)＝π^2／６を証明した．すべての偶数ｓに対しζ(s)の値は無理数であるが，アペリは１９７９年にζ(3)が無理数であることを証明した．その後，２０００年にリボールが無限個の奇数ｓに対しζ(s)が無理数であることを証明した．２００１年にリボールはこの結果を精密化し，ζ(5)からζ(21)までの奇数ｓのうち少なくとも１つのｓについて無理数であることを証明した．同年，ズディリンはこの範囲をζ(5)からζ(11)までに狭めることに成功した．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝