さらなる未解決問題を整理しておきたい．

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【１】未解決問題

［１］ｎ次元の立方体の基本単体の切半体の胞の数はｎ＋２（側面のｎ＋１個＋切り口の１個）である．ｎ＝３では５面，ｎ＝４では６胞であるが，ｎ＝２ののとき３辺になってしまう．ｎ＝２のときは例外なのだろうか？

［２］辺や面の個数の一般式については気になるところである．確定的ではないが，辺の個数は

　　ｎ＝２ｋ−１（奇数）のときはｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

　　ｎ＝２ｋ（偶数）のときはｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

（要再検討）

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【２】ｎ次元多面体の構成要素数

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体は，オイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．偶数次元のオイラー・ポアンカレの公式は定数項がない同次式であるのだが，この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．

　ｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められる．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算される．

　同様に，双対立方体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となる．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理を満たす．

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