有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になります．たとえば，超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］　　　（オイラーの公式）

すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？

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【１】ランベルトの公式

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］　　　（オイラーの公式）

に対して，ランベルトの公式とは

　　｛ｅｘｐ（２／ｍ）＋１｝／｛ｅｘｐ（２／ｍ）−１｝

　＝［ｍ，３ｍ，・・・，（２ｎ＋１）ｍ，・・・］

とくに，ｍ＝２とおけば

　　（ｅ＋１）／（ｅ−１）＝［２，６，・・・，２（２ｎ＋１），・・・］

　なお，

　　２／（√ｅ−１）＝［１，６，・・・，２（２ｎ＋１），・・・］

なども知られている．

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【２】級数の変換

　　ｌｏｇ２＝Σ（−１）^m／（ｍ＋１）＝Σ１／２^(n+1)（ｎ＋１）

　　ｌｏｇ２＝１＋Σ（−１）^n／ｎ（２ｎ−１）（２ｎ＋１）

　　Σ（−１）^m／（２ｍ＋１）＝Σ２^(n-1)／（２ｎ＋１）（２ｎ，ｎ）

　　Σ（−１）^n／２^n＝１／２Σ１／４^n

　　Σ（−１）^n／３^n＝１／２Σ１／３^n

　　Σ（−１）^n／４^n＝１／２Σ（３／８）^n

　　π^2／６＝Σ１／ｎ^2＝１＋Σ１／ｎ^2（ｎ＋１）

　　π^2／６＝Σ１／ｎ^2＝５／４＋Σ１／ｎ^2（ｎ＋１）（ｎ＋２）

　　π^2／６＝Σ１／ｎ^2＝３Σ（ｎ−１）！^2／（２ｎ）！

などは級数の変換の例である．元の級数よりよく収束することがあるが，必ずしもそうとは限らない．

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