算術平均Ａ＝（ａ＋ｂ）／２
幾何平均Ｇ＝（ａｂ）^(1/2)
調和平均Ｈ＝２／（１／ｘ＋１／ｙ）＝２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）
ユークリッド平均Ｅ＝（（ａ^2＋ｂ^2）／２）^(1/2) →
と定義する．
算術平均・幾何平均不等式
算術平均≧幾何平均
が証明されるが，調和平均は逆数の算術平均の逆数であるから，算術平均・幾何平均不等式においてａ→１／ａ，ｂ→１／ｂ，ｃ→１／ｃ，・・・と置き換えれば
幾何平均≧調和平均
の不等式を間接的に導くことができる．すなわち
算術平均≧幾何平均≧調和平均
が成立する．さらに，
ユークリッド平均≧算術平均≧幾何平均≧調和平均
これらは平均の重要な一般化であるが，さらなる平均の応用として算術幾何平均がある．
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【１】算術幾何平均
ａがｘ^2＝０の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．
かくして算術平均：
ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)
によって定義される数列は√(2)に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．
次に，算術平均に加えて，幾何平均も考えることにします．
「２数ａ0，ｂ0をとり，それらの算術平均ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，幾何平均ｂ1＝√ａ0ｂ0を計算する．次に，ａ1，ｂ1の算術平均と幾何平均を計算し，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ1ｂ1とする．すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．」
（証明）
ａ0＞ｂ0とする．
ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２＜（ａ0＋ａ0）／２＝ａ0
ｂ1＝√ａ0ｂ0＞√ｂ0ｂ0＝ｂ0
ａ1−ｂ1＝（ａ0＋ｂ0）／２−√ａ0ｂ0＝１／２（√ａ0−√ｂ0）＞０
帰納的に
ａ0＞・・・＞ａn ＞ａn+1＞ｂn+1＞ｂn ＞・・・＞ｂ0
より数列｛ａn｝，｛ｂn｝は単調数列となり，同じ値に収束することがわかる．
このように，１組の数（ａ，ｂ）に対して，算術および幾何平均を考えて，
(a,b):=((a+b)/2,√(ab))
と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼びます．
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【２】一般化
ｘn＝ｆ（ｘn-1，ｙn-1）
ｙn＝ｇ（ｘn-1，ｙn-1）
を繰り返すとき，数列ｘn，ｙnが同じ極限Ｍ（ｘ，ｙ）に収束し，極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）が具体的に定められるのはどのような場合でしょうか？
［１］収束性
答えを先にいうと，ｆ，ｇが比較可能な平均という性質をもつとき，同じ値に収束することが証明されます．
(1)平均の定義
ｘ＜ｙならば，ｘ＜ｆ（ｘ，ｙ）＜ｙ
λ＞０ならば，ｆ（λｘ，λｙ）＝λｆ（ｘ，ｙ）
(2)比較可能関数の定義
２つの関数の間に不等式ｆ（ｘ，ｙ）≦ｇ（ｘ，ｙ）が成り立つ．
この意味でＨ，Ｇ，Ａ，Ｅは平均の条件を満たし，不等式Ｈ＜Ｇ＜Ａ＜Ｅが成り立ちます．
［２］極限関数
極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）は初期値（ｘ0，ｙ0）の如何に関わらず，
Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｘ0，ｙ0）
したがって
Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｆ（ｘ，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ））
を満たします（不変性）．
（例１）ｆ＝２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）＝Ｈ，ｆ＝（ｘ＋ｙ）／２＝Ａ
とおくと，ｘ0ｙ0＝ｘ1ｙ2＝・・・という不変性を示す．この極限関数は
Ｍ（ｘ，ｙ）＝（ｘｙ）^(1/2)＝Ｇ
に急速に収束する．→算術調和平均
（例２）ｆ＝Ｇ，ｇ＝Ａならば極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分
Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）
により表すことができる（ガウス）．→算術幾何平均
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【３】バリエーション
(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ1ｂ0＝√ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ2ｂ1とする．ｂnを計算するときａn-1でなく最新のａnを使っていることに注意されたい．
すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．このとき，極限関数はＭ（ａ，ｂ）＝
（ｂ^2−ａ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓ（ａ／ｂ） （０≦ａ＜ｂのとき）
ａ （ａ＝ｂのとき）
（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓｈ（ａ／ｂ） （ｂ＜ａのとき）
で与えられる（パッフ）．
(2)０≦ａ0＜ｂ0なる２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝｛ａ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)，ｂ1＝｛ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)を計算する．これを繰り返すとａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する（カールソン）．
Ｍ（ａ，ｂ）＝｛（ｂ^2−ａ^2）／２ｌｏｇ（ａ／ｂ）｝^(1/2)
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【４】算術調和平均と幾何調和平均
１組の数（ａ，ｂ）に対して算術および幾何平均を考えて，
ａ←（ａ＋ｂ）／２
ｂ←√ａｂ
と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼ぶ．この極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分
Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）
により表すことができる（ガウス）．
［２］で述べたように
ａ←（ａ＋ｂ）／２
ｂ←２ａｂ／（ａ＋ｂ）
は共通な極限値Ｍ（ａ，ｂ）＝√ａｂに収束する．この極限値を算術調和平均という．
それに対して
ａ←√ａｂ
ｂ←２ａｂ／（ａ＋ｂ）
も共通な極限値Ｍ（ａ，ｂ）に収束する．この極限値を幾何調和平均という．
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【５】おまけ
［１］ｎ→∞のとき，｛（ｎ！）^(1/n)｝／ｎ→１／ｅ
これを一般化すると
｛Π（ａ＋ν）^(1/n)｝／ｎ→１／ｅ
［２］等差数列｛ａ＋（ν−１）ｄ｝のｎ個の数の算術平均をＡn，幾何平均をＧnで表せば，ｎ→∞のとき，Ａn／Ｇn→ｅ／２
［３］ｎ→∞のとき，｛Σ１／√ｎ｝／√ｎ→２
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