【１】三角形分割

　任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．それでは・・・

（Ｑ）５つの合同三角形に分割できる三角形は何か？

（Ａ）辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形である．

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【２】黄金三角形

　辺の長さが１：２：√５の直角三角形は「黄金三角形」と呼ばれることもあるようだ．この図形が「黄金長方形」の作図において重要だからである．

(1)与えられた線分を１辺とする正方形を描く

(2)下辺の中点を求める

(3)下辺の中点を中心として，正方形の左上の角を通る円を描く

(4)正方形の下辺の延長線との交点から垂線を引き，正方形の上辺の延長線との交点を求める

　黄金長方形から正方形を取り除くと，残る図形は黄金長方形となる．そして，このプロセスは何度も繰り返すことができる．このような自己相似性をもつ長方形は黄金長方形だけである．

　また，黄金三角形にはほかのどんな三角形にもないユニークな特徴がある．５個組み合わせることで，相似比１：√５の大きな黄金三角形を作ることができる．√５は黄金比τ＝（１＋√５）／２の一部であるが，大きな黄金三角形を５個組み合わせてさらに大きな黄金三角形を作ることができる．そして，このプロセスを永遠に繰り返すと，並進対称性をもたない非周期的なタイル貼りができるのである．

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【３】雑感

　白銀２乗菱形の１／４の直角三角形の辺長比はａ：ｂ：ｃ＝１：２：√５であるから，黄金比

　　τ＝（１＋√５）／２＝（ａ＋ｃ）／ｂ

と表せる．（あるいは黄金比は１と√５の相加平均と考えることもできるが）白銀２乗菱形それ自身を擬似黄金菱形といってよいのかもしれない．

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