ｎ次元正単体の基本単体の切断において，ｎ＝２のとき，正単体（正三角形）の基本単体は正三角形の半分の形（３０°，６０°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）であり，合同（ただし裏返しも許す）な３個の同形に分割できる．

　その後，（その１４）で述べた正四面体の４分割（おのおのは６面体）は，一般にｎ次元正単体をｎ＋１個の合同な２ｎ胞体に分割する一般論の特例であることがわかった．この問題を見て思い出したのが

　　（Ｑ）５つの合同三角形に分割できる三角形は何か？

　　（Ｑ）５つの相似三角形に分割できる三角形は何か？

という三角形分割の問題である．

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【１】三角形分割

　任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形である．

　新たに生じる三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．ｎ＝２，ｎ＝３の場合は直角三角形のみがそのように分割可能である．直角の頂点から斜辺に垂線を下ろせばよい．

（Ａ）ｎ＝５の場合，直角三角形は自分自身と相似な５個の三角形に分割できるが，それ以外に内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形（１：１：√３）が可能である．

　３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様である．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様であり，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられているから，ご存じの方も多いと思う．

　自分自身と相似な５個の三角形に分割するには，内心で３等分した正三角形の２辺に相似な２等辺鈍角三角形をつける．５つの相似三角形に分割できる三角形はこの２種類のみであることがウシスキンとワイメントにより証明されている．

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