以前にアップロードした「楕円積分の加法定理」シリーズは，本コラムのなかでも進んだ考察の部類の記事であると自負しているのだが，今回のコラムではそのエッセンスを抽出して再掲したい．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】円積分の倍角公式
円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，
∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx
を計算すると，これは
∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx
となります．そこで
f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)
2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π
となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．
F(z)=∫(0,z)f(x)dxは不完全円積分ですが，これから円関数（三角関数）を
sinω=F^(-1)(ω),cosω=F^(-1)(π/2-ω)
と定義すると，逆正弦関数
sin^(-1)x=∫(0,x)f(t)dt=u
が得られます．
2u=2∫(0,x)f(t)dt
ですが，三角関数の倍角の公式（あるいは加法定理）
sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2
より，
2u=sin^(-1)(2x(1-x^2)^1/2)
したがって，
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^2)^1/2)f(t)dt
２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^2）^1/2）
が成り立ちます．
2x(1-x^2)^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．
ｓｉｎｕ＝ｘ，ｓｉｎｖ＝ｙ，ｓｉｎ（ｕ＋ｖ）＝ｚとおけば，正弦関数の加法公式は
ｚ＝ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2
と表されます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】レムニスケート積分の倍角公式
ベルヌーイはレムニスケートの弧長を
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
u=F(x)=∫(0,x)f(t)dt
と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．また，
∫(0,1)f(t)dt=1.311028･･･=ω
とおくと，4ωがレムニスケートの全長になります．円に類比すると，レムニスケートの定数（レムニスケート周率）ωは円に対する円周率πと同じ役割を演じていることになります．
F(x)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)も周期4ωをもつことがわかります．レムニスケートサインを求めてみることにしましょう．実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると
F(x)=x+1/10x^5+1/24x^9+5/208x^16+･･･
この逆関数のべき級数展開は
sl(u)=u-1/10u^5+1/120u^9+11/15600u^13+･･･
=u(1-1/10u^4+1/120u^8+･･･)
=ug(u^4)
となります．
円積分では
x=sinu，f'(u)=dx/du=1/du/dx=(1-x^2)^1/2=y(=cosu=sin'u)
よりｘ，ｙはともにパラメータｕの関数になりましたが，レムニスケート積分でもx=sl(u),y=sl'(u)はともにパラメータｕの関数になり，曲線ｙ^2＝１−ｘ^4はx=sl(u),y=sl'(u)によってパラメータ表示できます．
ここで，sl(2u)をsl(u)の関数として表せればよいことになるのですが，レムニスケートサインの倍角の公式（あるいは加法定理）は
sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))
sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))
sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2
sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))=2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)
のようになります．レムニスケートサインとその導関数が正弦関数とその導関数である余弦関数にいかに類似しているかわかるでしょう．
2u=sl^(-1)(2x(1-x^2)^1/2/(1+x^4))
したがって，レムニスケート積分の倍角公式
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt
２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^4））
が成り立ちます．
2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)もｘから四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートも定規とコンパスだけで弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．
１７５１年，オイラーは正弦関数の加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）
との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
を構成することに成功しています．すなわち，
ｓｌｕ＝ｘ，ｓｌｖ＝ｙ，ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝ｚとおけば，レムニスケート正弦関数の加法公式は
ｚ＝（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2）
あるいは，同じことですが
ｚ＝（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2）
のとき，
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
∫(0,z)f(t)dt＝∫(0,x)f(t)dt+∫(0,y)f(t)dt
と表されます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】ベルヌーイのレムニスケートのｎ等分点
ベルヌーイのレムニスケートの方程式は
（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2
である．
第１象限にある部分だけを考えることにして，この弧は原点Ｏ（０，０）を始点，Ｐ（１，０）を終点としてパラメータｚ（０≦ｚ≦１）を用いれば，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
と表せる．
この線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2
で与えられ，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
はｄｓを２ｄｓに変える．
２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１
と置くことによって
ｚ^2＝√２−１
が得られる．以上より，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.435421 → (0.335810,0.277170)
ｎ＝４ → 0.327379 → (0.243582,0.218735)
ｎ＝６ → 0.218456 → (0.158115,0.150741)
ｎ＝８ → 0.163865 → (0.117415,0.114304)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】反転公式
写像
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
によりＯとＰは移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．
Ｑを弧ＯＰ上の点とするとき，弧ＯＱは等しい長さの弧ＱＰに移される．したがって，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.435421 → (0.335810,0.277170)
ｎ＝４ → 0.327379 → (0.243582,0.218735)
ｎ＝６ → 0.218456 → (0.158115,0.150741)
ｎ＝８ → 0.163865 → (0.117415,0.114304)
は，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.825378 → (0.756753,0.329506)
ｎ＝４ → 0.897995 → (0.853426,0.279394)
ｎ＝６ → 0.953363 → (0.931398,0.203496)
ｎ＝８ → 0.973499 → (0.960687,0.157423)
に移る．
レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
において，とくに，ｙ＝１の場合，反転公式
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
ｙ＝ｘの場合，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
を与えるというわけである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】レムニスケート関数と三角関数の類似性
レムニスケート関数と三角関数の類似性がレムニスケート関数の理論を構築する助けとなった．
［１］円の場合
円：ｘ^2＋ｙ^2＝１→ｘ＋ｙｄｙ／ｄｘ＝０
の線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2
で与えられる．
倍角公式
ｘ→２ｘ（１−ｘ^2）^1/2
はｄｓを２ｄｓに変える．
また，反転公式
ｘ→（１−ｘ^2）^1/2
によりＯ（０，０）とＰ（１，０）は移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^2
とおくと，
ｄｓ＝ｄｘ／ｙ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2
このとき，微分方程式
ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^2）^1/2
の一般解は
ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^2）^1/2
で与えられる．
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ，ｃ＝１の場合が反転公式
ｙ＝（１−ｘ^2）^1/2
である．
一般解はｙに関する２次方程式
ｙ^2−２ｙｘ（１−ｃ^2）^1/2＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝ｘ（１−ｃ^2）^1/2±ｃ（１−ｘ^2）^1/2
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｚ＝ｘ（１−ｙ^2）^1/2±ｙ（１−ｘ^2）^1/2
が得られる．
［２］レムニスケートの場合
ベルヌーイのレムニスケートの方程式は
（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2
である．第１象限にある部分だけを考えることにして，この弧は原点Ｏ（０，０）を始点，Ｐ（１，０）を終点としてパラメータｚ（０≦ｚ≦１）を用いれば，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
と表せる．（ｘ，ｙ）を楕円関数でパラメトライズしたというわけである．
この線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2
で与えられ，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
はｄｓを２ｄｓに変える．
したがって，レムニスケートの２等分点を求める際，
ｓｌ（２ｚ）＝２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１
とおいてｚを求めたあと，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
により，２等分点（ｘ，ｙ）を求めなければならないことになる．
また，反転公式は
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
で与えられる．
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^4
とおくと，
ｄｓ＝ｄｘ／ｙ＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2．このとき，微分方程式
ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2
の一般解は
ｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^4）^1/2
で与えられる．
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ．ｃ＝１の場合，すなわち，
ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０
ｙ^2＝（１−ｘ^2）／（１＋ｘ^2）
が反転公式である．
一般解はｙに関する２次方程式
ｙ^2（１＋ｃ^2ｘ^2）−２ｙｘ（１−ｃ^4）^1/2ｘ＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝｛ｘ（１−ｃ^4）^1/2±ｃ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｃ^2ｘ^2）
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｚ＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2±ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
が得られる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【６】レムニスケートのパラメータ表示
原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．
さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると
ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，
ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），
ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2） （−１≦ｔ≦１）
と表すことができます．
また，ａ＝１／√２のとき，レムニスケート：ｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，
ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
ここで，
ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
とおくと，
ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
のようにパラメトライズすることができます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【７】ゲロンのレムニスケート
レムニスケートといえば，一般にベルヌーイのレムニスケートを指す場合が多いが，もともと８の字曲線を表す用語であり，Geronoのレムニスケート，Boothのレムニスケート，Montferrierのレムニスケート，Slueseのレムニスケートなど多くのレムニスケートがあるそうだ．Geronoのレムニスケート：（ｘ，ｙ）＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθｃｏｓθ）はリサージュ曲線の１つとして知られている．
コラム「楕円積分の加法定理（その８）」において，『ベルヌーイのレムニスケートは三角関数を用いて
ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
とパラメトライズされるが，阪本氏によるとGegoroのレムニスケート
ｘ＝ｓｉｎθ
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ
というのもあるそうだ．以下にGegoroの連珠形を掲げる．
』と記したが，阪本氏が
［参］グレイ「曲線と曲面の微分幾何」小島順監訳，竹沢護訳，トッパンを参考にした際にスペルミスしたもので，Geronoが正しい．ゲロンはフランスの数学者．
ベルヌーイのレムニスケート：（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝（ｘ^2−ｙ^2）は三角関数を用いて
ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4）
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4）
とパラメトライズされる．ゲロンのレムニスケート：ｙ^2＝ｘ^2−ｘ^4も
ｘ＝ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ＝２ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）^2
とパラメトライズされるから，ベルヌーイのレムニスケート：（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝（ｘ^2−ｙ^2）もゲロンのレムニスケート：ｙ^2＝ｘ^2−ｘ^4も有理曲線というわけである
それに対して，フェルマー曲線：ｘ^n＋ｙ^n＝１やｙ^2＝１−ｘ^4は非有理曲線の例である．ベルヌーイのレムニスケートは数学史上重要な意義を果たした曲線であるが，ゲロンのレムニスケートはどうだったのだろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
