前回のコラムでは正単体系の基本単体の切断を試みて失敗したので，今回は正軸体系（ｎ次元双対立方体）の元素を求めてみることにした．正軸体は正八面体の一般化である．超立方体の基本単体ほどは扱いやすくはなかろうが，その基本単体も案外おもしろいかもしれない．

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【１】正軸体の基本単体

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

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【２】正軸体の基本単体の切断

　正軸体の頂点をトランケートして，辺の長さが等しくなるように調整するには頂点ベクトルｐ0ｐnに垂直なｎ次元超平面をｘ1＝ｔ（０＜ｔ＜１）とおくと

　　Ｐ（ｔ，０，０，・・・，０）・・・ｐ0ｐnとの交点

　　Ｑ（ｔ，１−ｔ，０，・・・，０）・・・ｐ0ｐ1との交点

　　Ｒ（１／２，１／２，０，・・・，０）・・・ｐ1

　　ＰＱ^2＝２ＱＲ^2　→　（１−ｔ）^2＝４（ｔ−１／２）^2

より，ｘ1＝ｔ＝２／３で切断することになる．

　ｐ0ｐnとの交点Ｐ，ｐ0ｐ1との交点Ｑに引き続き，ｐ0ｐ2との交点は

　　（ｔ，（１−ｔ）／２，（１−ｔ）／２，・・・，０，０）

以下同様にして，ｐ0ｐn-1との交点は，

　　（ｔ，（１−ｔ）／（ｎ−１），（１−ｔ）／（ｎ−１），・・・，（１−ｔ）／（ｎ−１））

と続く．

　ｘ1＞ｔとなるのは点ｐ0だけであるから，超平面ｘ1＝ｔはｐiｐj（ｉ≠０）とは交差せず，頂点数は２ｎとなる．したがって，位相的には単体を切頂して得られる超三角柱状の多面体であることがわかる．

　３次元空間内では超立方体の基本単体を２等分したものと一致する．しかし，超立方体の基本単体を２等分するときはｎが偶数次元か奇数次元かによって頂点数を分ける必要があったが，この多面体はその必要性がないことからも超立方体の基本単体を２等分して得られるものとは別物であることがわかるだろう．

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【３】まとめ

　高次元の平行多面体の定義がよくつかめず，したがって，その元素の意味もよくわからないのであるが，正軸体の基本単体の切断の一般化により求めた元素は超立方体の基本単体の切断から求めた元素よりも簡単に扱えることがわかった．

　　胞数　：ｃ（ｎ）＝ｎ＋２

　　頂点数：ｖ（ｎ）＝２ｎ

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