３次元の立方体の基本単体の半切体は５面・９辺・６頂点で，位相的には両側に三角形２枚，その間に四角形３枚からなる三角柱の形である．それでは，４次元の超立方体の基本単体を切断したときの形はどうになっているのだろうか？

　少なくともそれを取り囲む６個の胞（３次元の立体）の形だけでも調べることは意味があるだろう．一松信先生のご検討では４次元の超立方体の基本単体の半切体は６胞・１４面・１５辺・７頂点の立体であるとのことである．この検討結果は私にとっては驚愕的なものであって，故・乙部融朗氏が「計算が終わるまでにイメージが浮かぶのは一松先生のような大家のみかな」といっておられたことがいまさらながら思い出された．

　また，一松先生はコラム「超立方体の基本単体の切断」の記事をお読み下さり「偶数次元での胞数はｎ＋１胞体と予想される」という記述の「誤り」も指摘して下さった．すなわち，何次元であってもｎ＋１胞体は単体しかありえず，切断体の形としてはｎ＋２胞体が正しいというご指摘であるが，今回のコラムではその点も訂正したいと思う．

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【１】４次元の場合の元素の形

　基本単体の頂点

　　（０，０，０，０）＝Ｏ

　　（１，０，０，０）＝Ｄ

　　（１，１，０，０）＝Ｃ

　　（１，１，１，０）＝Ｂ

　　（１，１，１，１）＝Ａ

をＯＡの中点Ｍを通ってそれに垂直な超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２で切る．この超平面はＣを通るほか，次の点を通る．４交点は

　　（１／２，１／２，１／２，１／２）＝Ｍ

　　（１，１／３，１／３，１／３）＝Ｆ

　　（２／３，２／３，２／３，０）＝Ｅ

　　（１，１／２，１／２，０）＝Ｎ

である．

　この３次元切り口はＭ，Ｎ，Ｃ，Ｅ，Ｆを５頂点とする四角錐である．このうち，Ｍ，Ｎ，Ｅ，Ｆはｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２，ｘ2＝ｘ3で表される２次元平面上にあり，凧型である．凧型ＭＮＥＦは辺の長さ１：√２：√３の直角三角形の斜辺（ＭＮ）を併せてできる形で，

　　∠ＥＭＦ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）　　　　（正四面体の二面角）

　　∠ＥＮＦ＝ａｒｃｃｏｓ（−１／３）　　　（正八面体の二面角）

　　ＭＥ＝ＭＦ＝１／√３

　　ＥＮ＝ＮＦ＝１／√６

　　ＭＮ＝１／√２

　　ＥＦ＝２／３

全体はこの凧型をＣから射影した四角錐である．

　したがって，半片のうちＯ，Ｄ側をとると，頂点は７点：Ｏ，Ｄ，Ｃ，Ｍ，Ｎ，Ｅ，Ｆ．このうちＭ，Ｎ，Ｅ，Ｆはｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２，ｘ2＝ｘ3で表される２次元平面上にあるが，そのほか，次の４点ずつが同一の２次元平面上にある．

　　Ｏ，Ｄ，Ｍ，Ｆ：ｘ2＝ｘ3，ｘ3＝ｘ4で表される平面

　　Ｏ，Ｄ，Ｎ，Ｅ：ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝０で表される平面

　ＭＦ，ＥＮの延長はＯＤの延長と（２，０，０，０）で交わる．したがって，前記７頂点を２個ずつ結ぶ線分のうち，ＭＮ，ＥＦ，ＤＦ，ＭＤ，ＯＮ，ＥＤの６本は１つの面上に退化し，多胞体の辺（稜）にはならない．辺は7Ｃ2−６＝１５本である．

　胞は次の６胞である．それを表す超平面とそのうえにある頂点を示す．

ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２：Ｍ，Ｎ，Ｅ，Ｆ，Ｃ　　　四角錐（頂点Ｃ，５面）

ｘ2＝ｘ3　　　　　　　：Ｏ，Ｄ，Ｍ，Ｎ，Ｅ，Ｆ　三角柱（５面）

ｘ3＝ｘ4　　　　　　　：Ｏ，Ｄ，Ｃ，Ｍ，Ｆ　　　四角錐（頂点Ｃ，５面）

ｘ4＝０ 　　　　　　　：Ｏ，Ｄ，Ｃ，Ｎ，Ｅ　　　四角錐（頂点Ｃ，５面）

ｘ1＝１ 　　　　　　　：Ｄ，Ｃ，Ｎ，Ｆ　　　　　三角錐（四面体，４面）

ｘ1＝ｘ2　　　　　　　：Ｏ，Ｃ，Ｍ，Ｅ　　　　　三角錐（四面体，４面）

　こらら６個の超平面は独立で，これ以上の退化は生じない．面は合計

　　（５×４＋４×２）÷２＝１４面

である．うち上記３平面が四角形，他の１１枚が三角形．

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　前記の座標から辺の長さはすべて容易に計算できる．

　　ＯＤ＝ＤＣ＝１，ＯＭ＝１，ＯＥ＝２／√３，ＯＣ＝√２，ＭＣ＝１，

　　ＤＮ＝１／√２，ＤＦ＝１／√３，ＭＥ＝ＭＦ＝１／√３，

　　ＮＥ＝ＮＦ＝１／√６，ＣＮ＝１／√２，ＣＥ＝ＣＦ＝√（２／３）

辺にならない退化した対角線は

　　ＭＮ＝１／√２，ＥＦ＝２／３，ＯＦ＝２／√３，ＤＥ＝１，ＤＭ＝１，

　　ＯＮ＝√（３／２）

　面はＭＥＮＦ，ＯＤＦＭ，ＯＤＮＥが四角形，他の１１面（ＯＤＣ，ＤＦＮ，ＤＦＣ，ＣＮＥ，ＣＮＦ，ＣＭＥ，ＣＭＦ，ＯＭＥ，ＤＣＮ，ＯＣＥ，ＯＣＭ）が三角形．

　辺にはすべて３面，３胞が交わる．このことは４角形×３個＋３角形×１１個＝４５＝３×１５本．また，５面５頂点の３次元多面体は四角錐（８辺）に限られ，５面６頂点の３次元多面体は位相的には三角柱（９辺）の形になることから，胞の辺はのべ８辺×３個＋９辺×１個＝４５＝３×１５辺より納得される．

　前述ｘ2＝ｘ3での切り口（６頂点体）はＭＥＮＦ，ＭＦＯＤ，ＮＥＯＤが四角形で，３辺ＭＦ，ＮＥ，ＯＤで境され，上下に△ＤＦＮと△ＯＭＥがふたをしている三角柱状である．

　頂点から出る辺の数（グラフ理論でいえば枝数）は退化が生じている頂点Ｃが６枝（ＣＯ，ＣＤ，ＣＥ，ＣＦ，ＣＮ，ＣＭと他の全頂点と直接に結ばれる）．他の６頂点は４枝（４×６＋６×１＝３０＝２×１５本）．四角錐３個はすべて頂点Ｃが４枝であり，三角柱状の形（ｘ2＝ｘ3による切り口）は唯一頂点Ｃを含まない．

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【２】まとめ

［１］ｎが奇数の場合（ｎ＝２ｋ−１）

　　ｃ（ｎ）＝ｎ＋２

　　ｖ（ｎ）＝ｋ（ｋ＋１）

［２］ｎが偶数の場合（ｎ＝２ｋ）

　　ｃ（ｎ）＝ｎ＋２

　　ｖ（ｎ）＝ｋ^2＋ｋ＋１

　ｎが偶数のときにはｎ／２次元（中央の次元）の胞の中心を半切面が通るため「退化」が生じ，いくつかの辺の切り口（面）がそこに集中するため，頂点の実個数が減ると理解される．その意味で，３次元と４次元の場合が奇数次元と偶数次元の典型であり，半切体はｎ＋２胞になる．

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