固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円の周上の固定点のなす軌跡がサイクロイドです．自転車のタイヤを転がせばタイヤの上の１点はサイクロイドを描きます．
サイクロイドは回転角を媒介変数として回転円の半径をａとすると
ｘ＝ａ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ａ（１−ｃｏｓθ）
と書くことができます．
サイクロイドという名前は１５９９年ガリレオによって与えられたのですが，ガリレオはサイクロイドが囲む面積が回転円の面積のちょうど３倍になることを発見することはできませんでした．
サイクロイドはそもそもガリレオによって発見され，ホイヘンスによって振子時計の設計に使われ，そしてパスカルの積分法の研究にも貢献しています．サイクロイド弧が囲む面積は３πｒ^2（回転円の面積の３倍に等しい），弧長は８ｒ（回転円に外接する正方形の周に等しい）になります．
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【１】等時曲線
ガリレオ・ガリレイは１６世紀の終わりにピサの斜塔で有名な落体の実験を試みましたが，さらに大聖堂のシャンデリアの動きから振子の等時性を発見しています．
糸の長さｌに質量ｍの錘のついた振り子の運動方程式は，
ｍｌｄθ^2／ｄ^2ｔ＝−ｍｇｓｉｎθ
で表されますが，
ｓｉｎθ＝θ−１／３！θ^3＋１／５！θ^5−・・・
より，小さな振幅に限るとｓｉｎθ≒θとしてよいので
ｍｌｄθ^2／ｄ^2ｔ＝−ｍｇθ
となります．この方程式は線形なので解くことができ，周期
Ｔ＝２π√ｌ／ｇ≒２√ｌ
が得られます．したがって，周期はｌ＝２５ｃｍで約１秒，ｌ＝１ｍで約２秒となり，振幅には拠りません．
これが有名な「振り子の等時性」ですが，この現象は振幅が小さい場合に限って成立します．しかし，振幅が大きいと，復元力はｓｉｎθに比例し，積分は楕円積分となります．
その場合の周期として
(dt/dθ)^2=2g/l･(cosθ-cosθ0)=2g/l･(sin^2(θ0/2)-sin^2(θ/2))
dt/dθ=1/2･√(l/g)/√(sin^2(θ0/2)-sin^2(θ/2))
T=2√(l/g)∫(0,θ0)dθ/√(sin^2(θ0/2)-sin^2(θ/2))
より
Ｔ＝４√(l/g)K(k)
が得られますが，この式は振幅が小さいとき
Ｔ≒２π√(l/g)
と近似されます．
現実には振幅はそれ程小さくなく，無視できない差が生じます．楕円積分が登場するため，線形性はくずれ非線形になるからです．
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サイクロイドに束縛された質点の運動方程式を考えると
d^2s/dt^2=-gsinθ=-g/4a･s
となってこれは単振動の運動方程式にほかなりません．
したがって，サイクロイドを用いると，周期が振幅に依存しない正確に等時性をもった振り子を作ることができます．その場合，サイクロイド振り子の周期は
Ｔ＝４π√ａ／ｇ≒４√ａ
になります．
このようにして，いまから３００年以上も前にホイヘンスはサイクロイドが等時曲線（所要時間が質点の位置に関係なく一定である曲線）であることを発見しました．逆に，等時性が成り立つ曲線はサイクロイドに限ることが知られています．
単振り子が厳密には等時性をもたないことは前述しましたが，等時性をもつ振子を作るには振幅角が大きいとき振子の長さを短くして，錘の軌跡がサイクロイドを描くようにすればよいのですが，ホイヘンスは等時性からのずれを補正するためにサイクロイドの縮閉線を利用しました．サイクロイドの縮閉線にはもとのサイクロイドと合同なサイクロイドになるという性質があるからです．
（補）曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり，この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします．ＭをＬの伸開線（インボリュート），ＬをＭの縮閉線（エボリュート）と呼びます．
円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は
ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）
と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．
サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は
ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）
です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば
ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ
ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．
サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．
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【補】楕円積分
単振り子の振動周期や楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする不完全積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
F(z)=∫(0-z)f(x)dx
が絡んできます．
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
K(k)=∫(0-1)f(x)dx
を第１種完全楕円積分，
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
E(k)=∫(0-1)f(x)dx
を第２種完全楕円積分と呼びます．
これらの不定積分は初等関数では表せませんが，たとえば，第１種完全楕円積分は
K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}
とベキ級数展開できます．
完全楕円積分を用いると，楕円：x^2/a^2+y^2/b^2=1の全周は
4aE(k)=2aπ(1-k^2/4-3k^4/64-5k^6/256-･･･) k=(1-b^2/a^2)^(1/2)
レムニスケート：(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)の全周は√(8)aK(1/√(2))
糸の長さｌの単振り子の周期はT=4√(l/g)K(k)
したがって，振幅が小さいときT〜2π√(l/g)と表すことができます．
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