（その３）では，虹について正確に説明するためには微積分が必要になってくることを述べた．今回のコラムでは，虹と微分に関する部分を抜粋してみたい．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】虹の反射と微分
主虹では外側から内側に赤・橙・黄・緑・青・藍・紫の順に見え，その外側に，色の配列が主虹と逆順の副虹がうすく見える．副虹では赤が弧の内側になる．
主虹（下の方で明るく見える虹）は水滴の中で２回屈折し，１回反射した虹，副虹は２回屈折し，２回反射の虹である．ｉ，ｒをそれぞれ入射角，反射角，Ｄ（ｉ）を２回屈折し，１回反射した後の偏向角とすれば，
ｓｉｎｉ＝ｎｓｉｎｒ
Ｄ（ｉ）＝π＋２ｉ−４ｒ（ｉ）
が成り立つ．
微分を使って
ｄＤ／ｄｉ＝２−４ｄｒ／ｄｉ＝２−４ｃｏｓｉ／（ｎｃｏｓｒ）
したがって，極値を与える偏向角は
１／４＝ｃｏｓ^2ｉ／（ｎ^2−１＋ｃｏｓ^2ｉ）
ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／３）^1/2
Ｄ（ｉ）＝π＋２ｉ−４ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）
ｎ＝４／３（水の屈折率）を代入すると，
ｉ＝ａｒｃｃｏｓ√７／２７＝５９．４°
Ｄ（ｉ）＝１３８°
その補角１８０°−１３２°＝４２°が観測者を頂点とし，太陽とを結ぶ直線を軸とする虹の円錐の半頂角である．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
副虹は２回屈折し，２回反射の虹である．一般に，内部でｋ回反射した場合は，
ｄｒ／ｄｉ＝１／（１＋ｋ）
より
（ｋ＋１）^2ｃｏｓ^2ｉ＝ｎ^2ｃｏｓ^2ｒ
三角関数とスネルの法則により
（ｋ＋１）^2ｃｏｓ^2ｉ＝ｎ^2−１＋ｃｏｓ^2ｉ
すなわち，ｃｏｓｉについての２次方程式を解くと
ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／ｋ（ｋ＋２））^1/2
が得られる．
また，
ｄ^2Ｄ／ｄｉ^2＝２（ｋ＋１）（ｎ^2−１）ｔａｎｒ／ｎ^2ｃｏｓ^2ｒ＞０
Ｄ（ｉ）＝ｋπ＋２ｉ−２（ｋ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）
が成り立つ．
副虹についてはｋ＝２であるから
Ｄ（ｉ）＝２π＋２ｉ−６ｒ＝２ｉ−６ｒ（ｍｏｄ ２π）
＝２ｉ−６ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）
ｄＤ／ｄｉ＝２−４ｄｒ／ｄｉ＝２−６ｃｏｓｉ／（ｎｃｏｓｒ）
１／９＝ｃｏｓ^2ｉ／ｎ^2（１−ｓｉｎ^2ｒ）＝ｃｏｓ^2ｉ／（ｎ^2−ｓｉｎ^2ｉ）
ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／８）^1/2
ｎ＝４／３（水の屈折率）を代入すると，
ｉ＝ａｒｃｃｏｓ√７／７２＝７１．８°
Ｄ（ｉ）＝−１２９°
主虹の補角は１８０°−１３２°＝４２°であったが，副虹では５１°となり，主虹より９°上の空に現れることになる．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
さらに高次（３次，４次，・・・）の虹が現れることもある．３次の虹についてはｋ＝３であるから
ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／１５）^1/2
ｎ＝４／３（水の屈折率）を代入すると，
ｉ＝ａｒｃｃｏｓ√７／１３５＝７６．８４°
ｒ＝４６．９１°
Ｄ（ｉ）＝３１８．４°
すなわち，観測者の背後で，副虹よりも上空にある．しかし，虹の光自体が弱く，薄くてほとんどみられることはない（副虹の明るさは主虹の４３％，３次の虹の明るさは主虹の２４％にすぎない．レーザー光線で人工的に作られた虹であれば，ｋ＝２０までの高次の虹を見ることができる）．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
このことをもっと丁寧に調べることにしよう．水滴の半径を１，屈折率をｎ，入射光線と水滴の中心との距離をａ，反射光線と入射光線の間の角度（虹角）をθとすると，平面幾何学的に，１回反射の虹では
θ＝４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）
２回反射の虹では
θ＝−４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π
となることが示される．
一般に，奇数回反射した場合は
θ＝２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）
偶数回反射した場合は
θ＝−２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π
となる．
散乱角θをａで微分すると
ａ＝√（４−ｎ^2）／３ （主虹）
ａ＝√（９−ｎ^2）／８ （副虹）
でθは最大になる．
ｎ＝４／３とおくと，主虹はａ＝０．８６で最大値４２°，副虹はａ＝０．９５で最大値５１°をとるが，どちらからの散乱光もまったくやってこない領域が主虹と副虹の間で，この領域がアレクサンダー暗帯である．
さらに丁寧に考察するならば，
ｄθ／ｄａ＝２（−３ａ^2−ｎ^2＋４）／√（ｎ^2−ａ^2）√（１−ａ^2２（√（ｎ^2−ａ^2）＋√（１−ａ^2））
より，ｎ＞２の場合にはｄθ／ｄａ＜０より包絡線が存在しないので，主虹は存在しないことも理解される．
水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝