このシリーズではこれまで直角三角錐（ＲＴ，ＲＰ，・・・）がｎ次元の正多面体の元素定理の本質をなしていることをつきとめた．次に，もうひとつの直角三角形（立方体の基本単体）が平行多面体の元素定理の本質をなしていることを述べた．

　基本単体の胞数はｎ＋１である．（その６）では基本単体の２分割体の頂点数ｖ（ｎ）を求めたが，胞数ｃ（ｎ）については未解決である．とはいえ辺数ｅ（ｎ），面数ｆ（ｎ），・・・と地道に求めることは難しそうである．ｃ（ｎ）は簡単な形に表せるのだろうか？

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【１】再考

　奇数次元では

　　（ｎ＋１）＋１＝ｎ＋２胞体

になると思われるが，偶数次元では割面が基本単体の頂点ｐkを通るので厄介である．ｎ＝２のときｐ1，ｎ＝４のときｐ2，ｎ＝６のときｐ3を通るが，割面は基本単体の１頂点しか通らないことがわかる．

　偶数次元でもｎ＋１胞体あるいは（ｎ＋１）＋１＝ｎ＋２胞体と予測したいところである．ｎ＝２のときは直角二等辺三角形になるからｎ＋１胞体が正しいと思われるのだが，これでは辻褄があわない．（その３）において，ｎ＝４のとき６胞体としたからである．

　ｎ＝４の場合を再考してみよう．４次元多胞体というのは３次元の多面体が２つでひとつの側面を共有しながらつながったものである．

　　ｑ0（０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）

　　ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）

　　ｑ6（１，１／２，１／２，０）

のｑ2，ｑ3，ｑ4，ｑ5，ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．この超平面をπで表すことにする．

　超平面ｘ4＝０上にはｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5の４点が載る．すなわち，ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ4＝０で表される（πと２点を共有）．

超平面ｘ1＝１上にはｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6の４点が載る＝ｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6を囲む胞は超平面ｘ1＝１で表される（πと３点を共有）．さらに

ｑ0，ｑ2，ｑ3，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ1−ｘ2＝０で表される（πと３点を共有）．

ｑ0，ｑ1，ｑ3，ｑ4，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ2−ｘ3＝０で表される（πと３点を共有）．

ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ3，ｑ4を囲む胞は超平面ｘ3−ｘ4＝０で表される（πと３点を共有）．

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【２】結果

　超平面ｘ4＝０はπと側面を共有しないことがわかる．すなわち，ある頂点を通る通る超平面には基本単体となるｎ＋１胞体のうちどうしても通れない１面ができてしまうのである．このことから偶数次元の場合はｎ＋１胞体と予想される．これもあてずっぽうには違いないが，証拠に基づいた理詰めな予想ということになるだろう．

［１］ｎが奇数の場合

　　ｃ（ｎ）＝ｎ＋２

　　ｖ（ｎ）＝［（ｎ＋１）／２］^2＋［ｎ／２］＋１

［２］ｎが偶数の場合

　　ｃ（ｎ）＝ｎ＋１

　　ｖ（ｎ）＝［ｎ／２］^2＋［ｎ／２］＋１

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