ｎ次元立方体の基本単体の２分割体は，ｎ＝３のときｖ＝６，ｎ＝４のときｖ＝７，ｎ＝５のときｖ＝１２であった．ｖ（ｎ）は如何に？

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【１】検証

　超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２が直線ｐiｐjと交差するための条件を求めてみよう．端点で交差する場合は数えないことにする．

　 　ｐ0 　　　　ｐ1 　　　　ｐ2 　　　　ｐ3 　　　　ｐ4 　　　　ｐ5

ｐ1 ｎ＜２　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ2 ｎ＜４　２＜ｎ＜４　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ3　ｎ＜６　２＜ｎ＜６　４＜ｎ＜６　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ4　ｎ＜８　２＜ｎ＜８　４＜ｎ＜８　６＜ｎ＜８　　　−　　　　　−

ｐ5　ｎ＜10　２＜ｎ＜10　４＜ｎ＜10　６＜ｎ＜10　８＜ｎ＜10　　　−

ｐ6　ｎ＜12　２＜ｎ＜12　４＜ｎ＜12　６＜ｎ＜12　８＜ｎ＜12　10＜ｎ＜12

［１］ｎ＝３のとき

　 　ｐ0 　　　　ｐ1 　　　　ｐ2 　

ｐ1 ｎ＜２　　　−　　　　　−　　

ｐ2 ｎ＜４　２＜ｎ＜４　　　−　　

ｐ3　ｎ＜６　２＜ｎ＜６　４＜ｎ＜６

の表の条件を満たすのは４点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3≦３／２を満たすのは［３／２］＋１＝２点で，合計６点．

［２］ｎ＝４のとき

　 　ｐ0 　　　　ｐ1 　　　　ｐ2 　　　　ｐ3 　

ｐ1 ｎ＜２　　　−　　　　　−　　　　　−　　

ｐ2 ｎ＜４　２＜ｎ＜４　　　−　　　　　−　　

ｐ3　ｎ＜６　２＜ｎ＜６　４＜ｎ＜６　　　−　　

ｐ4　ｎ＜８　２＜ｎ＜８　４＜ｎ＜８　６＜ｎ＜８

の表の条件を満たすのは４点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２を満たすのは［２］＋１＝３点で，合計７点．

［３］ｎ＝５のとき

　 　ｐ0 　　　　ｐ1 　　　　ｐ2 　　　　ｐ3 　　　　ｐ4 　

ｐ1 ｎ＜２　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−　　

ｐ2 ｎ＜４　２＜ｎ＜４　　　−　　　　　−　　　　　−　　

ｐ3　ｎ＜６　２＜ｎ＜６　４＜ｎ＜６　　　−　　　　　−　　

ｐ4　ｎ＜８　２＜ｎ＜８　４＜ｎ＜８　６＜ｎ＜８　　　−　　

ｐ5　ｎ＜10　２＜ｎ＜10　４＜ｎ＜10　６＜ｎ＜10　８＜ｎ＜10

の表の条件を満たすのは９点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２を満たすのは［５／２］＋１＝３点で，合計１２点．

［４］ｎ＝６のとき

　 　ｐ0 　　　　ｐ1 　　　　ｐ2 　　　　ｐ3 　　　　ｐ4 　　　　ｐ5

ｐ1 ｎ＜２　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ2 ｎ＜４　２＜ｎ＜４　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ3　ｎ＜６　２＜ｎ＜６　４＜ｎ＜６　　　−　　　　　−　　　　　−

ｐ4　ｎ＜８　２＜ｎ＜８　４＜ｎ＜８　６＜ｎ＜８　　　−　　　　　−

ｐ5　ｎ＜10　２＜ｎ＜10　４＜ｎ＜10　６＜ｎ＜10　８＜ｎ＜10　　　−

ｐ6　ｎ＜12　２＜ｎ＜12　４＜ｎ＜12　６＜ｎ＜12　８＜ｎ＜12　10＜ｎ＜12

の表の条件を満たすのは９点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋≦３を満たすのは［３］＋１＝４点で，合計１３点．

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【２】結論

　ここまでくれば結論を下すのは簡単である．

［１］ｎが奇数の場合

　　ｖ（ｎ）＝［（ｎ＋１）／２］^2＋［ｎ／２］＋１

［２］ｎが偶数の場合

　　ｖ（ｎ）＝［ｎ／２］^2＋［ｎ／２］＋１

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